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再帰方程式(REDUCE)

以下の漸化式を考える。

$x_{n+1}=\frac{1+x_{n+1}+x_{n}}{x_{n-1}}$

この漸化式はどんな初期値にも関わらず周期8で必ず元の値に戻ることが知られている。(再帰方程式)

Reduceでそれを確かめてみよう。

% mapping of period 8
operator x;
j0:=8$
on gcd;
for j:=1:j0 do
<<
x(j+2):=(1+x(j+1)+x(j))/x(j-1)$
write x(j+2):=x(j+2);
>>$

同様に、再帰方程式の例として

$x_{n+1} = \frac{1+x_{n}}{x_{n-1}}$

$x_{n+1}=\frac{1+x_{n}+x_{n-1}x_{n}}{x{n-1}-x_{n}}$

$x_{n+1}=\frac{1-x^2_{n}-x_{n-1}}{1-x_{n-1}(1+x_{n})$

等がある。これらの周期がいくつであるか求めよ。

(広田良吾・高橋大輔 「差分と超離散」より引用)

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