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Laplacian (Maxima)

2次元のLaplacianを直交座標から極座標に変換する。
$x = r cos p, y = r sin p$

宣言
depends(u, [r,p], r, [x,y], p, [x,y]);

chain rule
diff(u,x);

$\frac{\partial r}{\partial x} = cos p$, $\frac{\partial p}{\partial x} = - \frac{sin p}{r}$ を代入
subst(cos(p),diff(r,x),%);

$\frac{\partial u}{\partial x}$を得る
dux:subst(-sin(p)/r, diff(p,x), %);

同様にして$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$を得る
diff(dux,x);
subst(cos(p), diff(r,x), %);
subst(-sin(p)/r,diff(p,x),%);
duxx:expand(%);

以下同様
diff(u,y);
subst(sin(p), diff(r,y),%);
duy:subst(cos(p)/r, diff(p,y),%);
diff(duy,y);
subst(sin(p), diff(r,y), %);
subst(cos(p)/r, diff(p,y), %);
uyy:expand(%);

やっと$\Delta u$に到達
duxx + duyy;

三角関数を簡単化するにはもう一息
trigreduce(%);

課題

3次元でやってみる。


『数式処理 入門から高度利用まで』より引用

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